▷ Dvejetainė, dešimtainė, aštuonioliktainė ir šešioliktainė sistema, kas tai yra ir kaip jis veikia

Jei esate informatikos, elektronikos ar bet kurios inžinerijos šakos studentas, vienas iš dalykų, kuriuos turėtumėte žinoti, yra numeravimo sistemos konvertavimas. Skaičiuojant naudojamos numeravimo sistemos skiriasi nuo tų, kurias tradiciškai žinome, kaip ir mūsų dešimtainė sistema. Štai kodėl labai atsidavę skaičiavimo, programavimo ir panašių technologijų sričiai, mes turėsime žinoti labiausiai naudojamas sistemas ir žinoti, kaip konvertuoti iš vienos sistemos į kitą.

Turinio rodyklė

Kaip atlikti numeravimo sistemos konvertavimą

Ypač naudinga žinoti konvertavimo nuo dešimtainės į dvejetainę sistemą ir atvirkščiai, nes tai yra numeravimo sistema, su kuria kompiuterio komponentai veikia tiesiogiai. Taip pat labai naudinga žinoti šešioliktainę sistemą, nes ji naudojama, pavyzdžiui, spalvų kodams, klaviatūroms ir daugybei kodų iš mūsų komandos atvaizduoti.

Numeravimo sistemos

Numeravimo sistemą sudaro simbolių rinkinio ir taisyklių, leidžiančių mums sudaryti galiojančius skaičius, vaizdas. Kitaip tariant, tai susietų simbolių, su kuriais be jokių apribojimų, bus galima formuoti kitas skaitines reikšmes, naudojimas.

Per daug nesigilinant į matematinius apibrėžimų terminus, sistemos, kurias dažniausiai naudoja žmonės ir mašinos, bus šios:

Dešimtainė sistema

Tai yra pozicinė numeravimo sistema, kurioje kiekius žymi dešimtainis skaičiaus aritmetinis pagrindas.

Kadangi bazė yra dešimtukas, mes turėsime galimybę sudaryti visas figūras naudodami dešimt skaičių, kuriuos mes visi žinome. 0, 1, 2 3, 4, 5, 6, 7, 8 ir 9. Šie skaičiai bus naudojami atvaizduojant 10 galių padėtį formuojant bet kurį skaičių.

Taigi šioje numeravimo sistemoje skaičių galime apibūdinti taip:

Matome, kad dešimtainis skaičius yra kiekvienos reikšmės suma iš bazės 10, pakelto į padėtį 1, kurią užima kiekvienas terminas. Mes to atsiminsime atlikdami konversijas kitose numeravimo sistemose.

Dvejetainė sistema

Dvejetainė sistema yra numeravimo sistema, kurioje naudojama aritmetinė bazė 2. Ši sistema yra kompiuterių ir skaitmeninių sistemų viduje naudojama absoliučiai visiems procesams vykdyti.

Ši numeravimo sistema pavaizduota tik dviem skaitmenimis 0 ir 1, todėl ji remiasi 2 (dviem skaitmenimis).Jeigu visos vertės grandinės bus sukurtos.

Aštuoninė sistema

Kaip ir ankstesniuose paaiškinimuose, mes jau galime įsivaizduoti, kas tai yra apie aštuonkojų sistemą. „Octal“ sistema yra numeravimo sistema, kurioje naudojama aritmetinė bazė 8, tai yra, mes turėsime 8 skirtingus skaitmenis, kad būtų galima pavaizduoti visus skaičius. Tai bus: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 ir 7.

Šešioliktainė sistema

Remiantis ankstesniais apibrėžimais, dešimtainė numeravimo sistema yra pozicinė numeravimo sistema, pagrįsta skaičiumi 16. Šioje vietoje paklausime savęs, kaip mes gausime 16 skirtingų skaičių, jei, pavyzdžiui, 10 yra dviejų skaičių derinys skiriasi?

Na, labai paprastai, mes juos išradome ne mes, o tie, kurie išrado aptariamą sistemą. Skaičiai, kuriuos turėsime čia, bus: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E ir F. tai iš viso sudaro 16 skirtingų terminų. Jei kada nors nustatėte spalvos skaitmeninį kodą, jis turi tokio tipo numeravimą, todėl jūs pamatysite, kaip, pavyzdžiui, balta spalva vaizduojama kaip FFFFFF vertė. Vėliau pamatysime, ką tai reiškia.

Dvejetainės ir dešimtainės sistemos konvertavimas

Kadangi tai yra paprasčiausia ir lengvai suprantama, pradėsime konvertuodami šias dvi numeravimo sistemas.

Konvertuokite skaičių iš dvejetainės į dešimtainę

Kaip matėme pirmame skyriuje, dešimtainį skaičių atstovaujame kaip verčių sumą, padaugintą iš 10 galios, iki padėties-1, kurią ji užima. Jei pritaikysime tai dvejetainiams skaičiams su atitinkama baze, turėsime:

1	0	0	1	1	0
1 · 2 5	1 · 2 4	1 · 2 3	1 · 2 2	1 · 2 1	1 · 2 0

Bet, žinoma, jei atliktume procedūrą kaip dešimtainę sistemą, gautume kitas reikšmes nei 0 ir 1, tai yra tos, kurias galime parodyti tik šioje numeravimo sistemoje.

Bet būtent tai bus labai naudinga atliekant konvertavimą į dešimtainę sistemą. Apskaičiuokime kiekvienos vertės rezultatą jo langelyje:

1	0	0	1	1	0
1 · 2 5 = 32	1 · 2 4 = 0	1 · 2 3 = 0	1 · 2 2 = 4	1 · 2 1 = 2	1 · 2 0 = 0

Na, jei atliksime šių verčių, gautų iš kiekvienos ląstelės, sumą, gausime dvejetainės vertės dešimtainę ekvivalentą.

Dešimtainė 100110 vertė yra 38

Mums tereikėjo padauginti skaitmenį (0 arba 1) iš jo pagrindo (2), pakelto iki 1 padėties, kurią jis užima paveikslėlyje. Pridedame reikšmes ir turėsime skaičių po kablelio.

Jei nesate įsitikinę, dabar vykdysime priešingą procesą:

Konvertuoti dešimtainį skaičių į dvejetainį

Jei anksčiau mes padauginome skaičius ir sumą, kad nustatytume dešimtainę reikšmę, dabar tai, ką turėsime padaryti, yra dešimtainis skaičius padalinti iš sistemos, į kurią norime ją konvertuoti, bazės, šiuo atveju 2.

Mes atliksime šią procedūrą tol, kol nebebus galima atlikti jokio kito padalijimo. Pažiūrėkime pavyzdį, kaip tai būtų padaryta.

Skaičius	38	19	9	4	2	1
Skyrius	÷ 2 = 19	÷ 2 = 9	÷ 2 = 4	÷ 2 = 2	÷ 2 = 1	-
Poilsis	0	1	1	0	0	1

Tai yra rezultatas, paeiliui padalinus iki minimumo. Galbūt jau supratote, kaip tai veikia. Jei dabar paimsime likusias kiekvieno padalijimo dalis ir apversime jos padėtį, gausime dvejetainę dešimtainio skaičiaus vertę. Tai yra, pradėta nuo to, kur baigėme pasidalijimą atgal:

Taigi turime tokį rezultatą: 100110

Kaip matome, mums pavyko turėti lygiai tokį patį numerį, kaip skyriaus pradžioje.

Trupmeninį dešimtainį skaičių paverskite dvejetainiu

Kaip mes gerai žinome, yra ne tik sveikieji dešimtainiai skaičiai, bet taip pat galime rasti tikruosius skaičius (trupmenas). Ir kaip numeravimo sistemą, turėtų būti įmanoma konvertuoti skaičių iš dešimtainės sistemos į dvejetainę sistemą. Mes matome, kaip tai padaryti. Paimkime skaičių 38 375 kaip pavyzdį

Mes turime atskirti kiekvieną dalį. Mes jau žinome, kaip apskaičiuoti sveikąją dalį, todėl eisime tiesiai į dešimtainę dalį.

Procedūra bus tokia: mes turime paimti dešimtainę dalį ir padauginti ją iš sistemos pagrindo, tai yra 2. Padauginimo rezultatą turime jį dar kartą padauginti, kol gausime trupmeninę 0 dalį. Jei padauginus trupmeninis skaičius pasirodo su sveika dalimi, mes turėsime paimti tik trupmeną kitam kartotiniam skaičiui. Pažvelkime į pavyzdį, kad geriau jį suprastume.

Skaičius	0, 375	0, 75	0, 50
Daugyba	* 2 = 0, 75	* 2 = 1, 50	* 2 = 1, 00
Visa dalis	0	1	1

Kaip matome, imame dešimtainę dalį ir dauginame ją dar kartą, kol pasieksime 1, 00, kur rezultatas visada bus 0.

Dvejetainėje programoje 38 385 rezultatas bus 100 110 011

Bet kas nutinka, kai proceso metu niekada negalime pasiekti 1, 00? Pažiūrėkime pavyzdį su 38, 45

Skaičius	0, 45	0, 90	0, 80	0, 60	0.20	0, 40	0, 80
Daugyba	* 2 = 0, 90	* 2 = 1, 80	* 2 = 1, 60	* 2 = 1, 20	* 2 = 0, 40	* 2 = 0, 80	* 2 = 1, 60
Visa dalis	0	1	1	1	0	0	1

Kaip matome , nuo 0, 80 procesas tampa periodiškas, tai yra, mes niekada neužbaigsime procedūros, nes visada atsiras skaičiai nuo 0, 8 iki 0, 4. Tada mūsų rezultatas bus dešimtainio skaičiaus apytikslis skaičius, kuo toliau eisime, tuo didesnį tikslumą gausime.

Taigi: 38, 45 = 100 110, 01110011001 1001 …

Pažiūrėkime, kaip atlikti atvirkštinį procesą

Dalinio dvejetainio skaičiaus konvertavimas į dešimtainį

Šis procesas bus vykdomas taip pat, kaip ir įprastas bazės keitimas, išskyrus tai, kad kableliais galios bus neigiamos. Paimkime tiesiog ankstesnio dvejetainio skaičiaus sveikąją dalį:

0	1	1	1	0	0	1	…
0 · 2 –1 = 0	1 · 2 –2 = 0, 25	1, 2 · 3 = 0, 125	1, 2–4 = 0, 0625	1 · 2 –5 = 0	1 · 2 –6 = 0	1, 2–7 = 0, 0078125	…

Jei pridėsime rezultatus, gausime:

0, 25 + 0, 125 + 0, 0625 + 0, 0078125 = 0, 4453

Jei ir toliau atliktume operacijas, priartėtume arčiau tiksliosios 38, 45 vertės

Aštuonios sistemos ir dvejetainės sistemos konvertavimas

Dabar mes pažiūrėsime, kaip atlikti konvertavimą tarp dviejų sistemų, kurios nėra dešimtainės dešimtainės, tam mes paimsime aštuonkampę sistemą ir dvejetainę sistemą ir atliksime tą pačią procedūrą, kaip ir ankstesniuose skyriuose.

Konvertuokite skaičių iš dvejetainės į aštuonios

Konvertavimas tarp abiejų numeravimo sistemų yra labai paprastas, nes aštuonios dalies sistema yra tokia pati kaip dvejetainėje sistemoje, tačiau padidinta iki 3, 2 ³ = 8 galios. Taigi, remdamiesi tuo, ką mes ketiname padaryti, tai suskirstyti dvejetainius terminus į tris grupes, pradedant nuo dešinės į kairę ir tiesiogiai konvertuoti į dešimtainį skaičių. Pažiūrėkime pavyzdį su numeriu 100110:

1	0	0	1	1	0
100	110
0 · 2 2 = 4	0 · 2 1 = 0	1 · 2 0 = 0	1 · 2 2 = 4	1 · 2 1 = 2	0 · 2 0 = 0
4	6

Mes grupuojame kas tris skaitmenis ir konvertuojame į dešimtaines dalis. Galutinis rezultatas bus toks: 100110 = 46

O kas, jei neturime tobulų 3 grupių? Pavyzdžiui, 1001101, mes turime dvi grupes iš 3 ir vieną iš 1, pažiūrėkime, kaip elgtis toliau:

0	0	1	0	0	1	1	0	1
001	100	110
0 · 2 2 = 0	0 · 2 1 = 0	1 · 2 0 = 1	0 · 2 2 = 0	0 · 2 1 = 0	1 · 2 0 = 1	1 · 2 2 = 4	1 · 2 1 = 0	1 · 2 0 = 1
1	1	5

Atlikę procedūrą, mes paimame grupes iš dešinės kadencijos ir, pasiekę pabaigą, užpildome tiek nulių, kiek reikia. Šiuo atveju mums reikėjo dviejų, kad sukomplektuotume paskutinę grupę. Taigi 1001101 = 115

Konvertuokite aštuntainį skaičių į dvejetainį

Na, procedūra yra tokia pati paprasta, kaip ir atvirkščiai, tai yra, einant nuo dvejetainės iki dešimtainės grupėse po 3. Pažiūrėkime ją su skaičiumi 115

Vertė	1	1	5
Skyrius	÷ 2 = 0	0	0	÷ 2 = 0	0	0	÷ 2 = 2	÷ 2 = 1	-
Poilsis	1	0	0	1	0	0	1	0	1
Grupė	001	001	101

Tokiu būdu matome, kad 115 = 001001101 arba kas yra tas pats 115 = 1001101

Aštuonios sistemos ir dešimtainės sistemos konvertavimas

Dabar mes pamatysime, kaip atlikti procedūrą, kaip pereiti nuo aštuonių skaičių sistemos prie dešimtainės ir atvirkščiai. Pamatysime, kad procedūra yra visiškai tokia pati kaip dešimtainės ir dvejetainės sistemos atveju, tik mes turime pakeisti bazę į 8, o ne 2.

Procedūras atliksime tiesiogiai su dalimis su trupmenine dalimi.

Konvertuokite dešimtainį skaičių į aštuonkojį

Atlikdami dešimtainio dvejetainio metodo procedūrą, mes atliksime tai 238.32 pavyzdžiu:

Visa dalis. Mes padalijame iš bazės, kuri yra 8:

Skaičius	238	29	3
Skyrius	÷ 8 = 29	÷ 8 = 3	-
Poilsis	6	5	3

Dešimtainę dalį padauginame iš bazės, kuri yra 8:

Skaičius	0, 32	0, 56	0, 48	0, 84	0, 72	…
Daugyba	* 8 = 2, 56	* 8 = 4, 48	* 8 = 3, 84	* 8 = 6, 72	* 8 = 5, 76	…
Visa dalis	2	4	3	6	5	…

Gautas rezultatas yra toks: 238, 32 = 356, 24365…

Konvertuokite aštuonios dalies skaičių po kablelio

Na, tada darykime priešingą procesą. Perduokime aštuntainį skaičių 356, 243 po kablelio:

3	5	6	,	2	4	3
3 · 8 2 = 192	5 · 8 1 = 40	6 · 2 0 = 6		2 · 8 –1 = 0, 25	4 · 8 –2 = 0, 0625	3 · 8 -3 = 0, 005893

Rezultatas: 192 + 40 + 6, 0, 25 + 0, 0625 + 0, 005893 = 238, 318

Šešioliktainės sistemos ir dešimtainės sistemos konvertavimas

Tada baigiame konvertavimo procesą tarp šešioliktainės numeracijos sistemos ir dešimtainės sistemos.

Konvertuoti dešimtainį skaičių į šešioliktainį

Atlikdami dešimtainio-dvejetainio ir dešimtainio-aštuntojo metodo procedūras, mes atliksime tai 238.32 pavyzdžiu:

Visa dalis. Mes padalijame iš bazės, kuri yra 16:

Skaičius	238	14
Skyrius	÷ 16 = 14	-
Poilsis	E	E

Dešimtainę dalį padauginame iš bazės, kuri yra 16:

Skaičius	0, 32	0.12	0, 92	0, 72	0, 52	…
Daugyba	* 16 = 5, 12	* 16 = 1, 92	* 16 = 14, 72	* 16 = 11, 52	* 16 = 8, 32	…
Visa dalis	5	1	E	B	8	…

Gautas rezultatas yra toks: 238, 32 = EE, 51EB8…

Konvertuokite skaičių iš šešioliktainio į dešimtainį

Na, tada darykime priešingą procesą. Pereikime šešioliktainį skaičių EE, 51E po kablelio:

E	E	,	5	1	E
E16 1 = 224	E · 16 0 = 14		5, 16 -1 = 0, 3125	1 · 16 -2 = 0, 003906	E16 -3 = 0, 00341

Rezultatas: 224 + 14, 0, 3125 + 0, 003906 + 0, 00341 = 238, 3198…

Tai yra pagrindiniai būdai, kaip pakeisti bazę iš vienos numeravimo sistemos į kitą. Sistema taikoma bet kurios bazės ir dešimtainės sistemos sistemai, nors šios yra labiausiai naudojamos skaičiavimo srityje.

Galbūt jus taip pat domina:

Jei turite klausimų, palikite juos komentaruose. Mes pasistengsime jums padėti.